로또가 의심돼! (feat. 당첨 숫자가 하나도 없을 확률)

로또는 우리 인생에서 확률이라는 보이지 않는 수를 몸으로 체감할 수 있는 좋은 기회다.
하지만 늘 조작이라는 의심이 따르는 편이다.

오늘은 문득 로또를 구매하다가 역대 당첨 기록으로부터 조작의 증거를 발견할 수 있을까 하는 생각이 들었다.

그렇다. 혹시 벤포드의 법칙이 통할 것인가 궁금해서 확인해보려다가, 조금 더 생각해보니까 아니라는 생각이 들었다.
로또는 어떤 흐름 속에서 연속되는 수들이 있는 게 아니라, 매 회차별로 독립 시행이다.

그렇다면 큰 수의 법칙을 따를테니 정규 분포가 보이지 않을까 생각해봤다.

간단하게 확인할 방법을 궁리해봤는데, 간단하지 않을 것 같았다.

각 회차별로 등장하는 당첨 숫자는 7개(보너스 숫자도 포함)이다. 그럼 변수가 7개이므로 각 $p(X_1)$ 부터 $p(X_7)$ 에 대한 결합 확률 분포(Joint probability distribution)를 계산해야하나 싶었다. 근데 또 각 변수가 독립은 아닌데.... (모르겠다 너무 어렵다)

1부터 45까지 중에서 뽑은 7개의 숫자 합은 최소 28(1+2+3+4+5+6+7), 최대 294(39+40+41+42+43+44+45)이다.
한 회차에서 숫자들의 등장 확률은 조합이므로 정규 분포를 따른다.

그렇다면 각 회차에서 등장하는 숫자들의 합들의 분포를 찍어봐도 정규 분포를 따라야하지 않을까?

각 회차별 당첨 숫자합에 대한 분포표

X축은 각 회차에서 등장한 당첨 숫자들의 합, Y축은 그러한 합이 등장할 확률이다.

엄밀하게 확인하려던 게 아니라 추이만 보려고 한 것이라 이 정도에서 마친다.

로또 하나도 안 맞을 확률

당첨 번호를 모두 피한 5개의 자동 추첨

모든 문제를 맞힌 사람 역시 대단하지만, 모든 문제를 틀린 사람도 대단하다고 할 수 있다.
보너스 숫자를 제외하고 6개의 번호가 일치하는 확률은 814만분의 1이지만, 이 경우에는 확률이 어떻게 되는 지 궁금해졌다.

여기 한 사람 더 있었다. (출처: 홍차넷)

45개의 숫자 중에서 당첨 숫자인 6개를 제외한 39개 중에서 6개의 숫자를 뽑을 확률을 구하면 된다.

$\frac{39}{45} \cdot \frac{38}{44} \cdot \frac{37}{43} \cdot \frac{36}{42} \cdot \frac{35}{41} \cdot \frac{34}{40}~=~\frac{2~349~088~560}{5~864~443~200}~=0.4005646$ 로, 약 40% 이다.

그런데 5개의 줄을 샀으므로, 서로 독립인 5개의 줄에서 모두 등장하지 않으려면, 40%가 5번 동시에 일어나야한다.

${0.4005646}^5$~=~0.01031247\) 로, 약 1%의 확률이다. 이것도 쉽지 않은 확률인데, 당첨 확률은 이것보다 8만배 높다.

참고한 글

로또 회차별(1회~1165회) 당첨번호

홍차넷 - 로또 하나도 안 맞을 확률이 어떻게 되나요?