Joonas' Note

링크: https://www.acmicpc.net/problem/13976 문제 2133번 문제와 같이 3×N 크기의 벽을 2×1, 1×2 크기의 타일로 채우는 경우의 수를 구하는 문제이지만, N의 범위가 \(10^{18}\) 이다. 풀이 이전에 작성한 2133번 문제의 2번째 풀이 방법과 같지만 그것을 빠르게 계산해야한다. 피보나치 수를 빠르게 구하는 방법과 마찬가지로, 행렬을 이용한 거듭 제곱 트릭을 사용하면 된다. 수열의 값은 같으므로, 편의상 OEIS A001835 수열 \( f(n) = 4 \cdot f(n-1) - f(n-2) \) 을 사용하겠다. 이것을 행렬로 나타내면 아래와 같다. $$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc} f_{n} \\ f_{n-1}..

링크: https://www.acmicpc.net/problem/2133 문제 3×N 크기의 벽을 2×1, 1×2 크기의 타일로 채우는 경우의 수를 구하는 문제이다. 풀이 3×N 벽을 채우는 경우를 \(f(n)\), 한 칸이 빈 3×N 벽을 채우는 경우를 \(g(n)\) 라고 하자. 왼쪽부터 2×1 또는 1×2 크기의 타일을 하나씩 채워보면서 가능한 경우를 살펴본다. \(g(0)\)와 \(g(2)\)는 타일을 채울 방법이 없으므로 \(g(0) = g(2) = 0\) 이다. 이것을 식으로 나타내면 이렇다. $$f(n) = \begin{cases} 0 & \text{if $n$ < 2} \\ 2g(n-1) + f(n-2) \end{cases}$$ $$g(n) = \begin{cases} 1 & \text{i..

문제 소인수가 2 또는 3 또는 5로만 이루어진 수를 "못생긴 수"라고 했을 때, N번째 못생긴 수를 출력하는 문제이다. New Zealand 1990 Division I에 등장했던 문제로, 여러 저지에서 풀어볼 수 있다. UVa 136 - Ugly Numbers POJ 1338 - Ugly Numbers 정올 1318 - 못생긴 수 풀이 빨간색을 현재까지 살펴본 수, 파란색을 앞으로 살펴볼 수라고 했을 때 그림을 위와 같다. 파란색으로 색칠된 수 중에서 가장 작은 수부터 순서대로 살피면, 그 순서대로 N번째 못생긴 수가 결정된다. 이는 다익스트라 알고리즘에서 그림이 어떻게 그려지는 지를 떠올리면 이해가 쉽다. 수의 중복을 제거하기 위해서 이전에 5를 곱해서 만들어진 수에는 2나 3을 곱하지 않았다. 2..

https://www.acmicpc.net/problem/11012 문제 2차원 평면에서 점들의 위치가 주어지고, [left, right]×[bottom, top] 으로 그려지는 사각형 내에 있는 점의 개수를 쿼리마다 출력하는 문제이다. 이 문제는 PST(Persistent Segment Tree)로 해결할 수 있다. PST의 이해를 위해서는 Segment Tree를 먼저 알아야한다. 이 글에서는 자세한 설명은 생략하고, 도움이 될 만한 글로 대체한다. 사실 같은 내용을 이 문제에 대해서만 다시 정리하는 것이라 봐도 무방하다. 혼동이 있을 수 있지만, 이 글에서는(필자는) 세로/수직 방향을 \(y\)축으로 가로/수평 방향을 \(x\)축으로 한다. 즉, \((0,~0)\)은 왼쪽 아래를 의미한다. y축을 ..

링크: https://www.acmicpc.net/problem/3640문제가중치가 있는 방향 그래프가 주어지고, 1번 정점에서 V번 정점까지 서로 겹치지 않는 2개의 경로 중 비용이 최소인 경우를 출력하는 문제이다. 겹치지 않는 경로를 찾는 것은 최대 유량으로 해결 가능하고, 그 비용이 최소가 되는 것을 구해야하므로, 네트워크 플로우 유형 중에서 MCMF(Min Cost Max Flow; 최소 비용 최대 유량)인 문제이다. 그래프 문제는 항상 문제 조건을 꼼꼼히 살펴야겠다. 이번에도 "출발과 목적지를 제외하고 같은 중간 지점이나 같은 뱃길을 지나면 안 된다." 에서 정점이 겹쳐서는 안되는 조건을 깜빡해서 계속 틀렸다. 이 조건을 무시하면 틀리는 예외 케이스는 아래와 같다. 최대 유량은 1개이고, 답은 ..

링크: https://www.acmicpc.net/problem/15480문제문제 설명은 간단하다.루트를 r로 하는 트리에서 u와 v의 최소공통조상(LCA)를 출력하는 문제이다. LCA(r, u), LCA(r, v), LCA(u, v) 세 개 중에서 깊이가 더 깊은 노드를 출력하면 된다.증명은 사실 안 했는데, 케이스 몇 개를 두고 해보니까 계속 답이었다..혹시나 싶어서 제출해봤더니 정답코드

제목 그대로, 트리의 노드 순서를 다시 정리하여 구간으로 표현하는 것이다. 그림으로 보면, 트리의 구조와 왼쪽과 같았다면, 각 트리의 번호를 오른쪽처럼 변경하는 것이다. 순서는 전위순회(pre-order)로 탐색하면서 번호를 붙이면 된다. 이게 왜 필요할까? 제목에서 이미 말한거지만, 구간으로 표현하는 것이 더 용이할 때 사용한다. 특히 트리를 세그먼트 트리나 펜윅 트리 등의 구간합/부분합으로 변형하여 문제 해결이 필요한 경우이다. 노드의 번호를 위처럼 정리하면, 각 노드가 포괄하는 노드는 항상 확실하다. "자신의 번호 + 그 노드의 서브 트리(들)의 크기"가 포함할 수 있는 자식의 마지막 번호와 같다. 그럼 트리를 일렬로 펴서 다룰 수 있다. 코드 관련 문제 (+스포일러)BOJ 2820 - 자동차 공장..

링크: https://www.acmicpc.net/problem/9034오랜만의 포스팅. 아마 한동안 문제를 풀 시간은 없을 듯.. ㅠ문제매번 \(i\)번 선수에게 더해지는 점수가 주어지고, \(x\)번째 선수가 몇 등인지 실시간으로 출력하는 문제이다. 먼저 어떤 선수의 등수는 "그 선수보다 점수가 더 높은 사람의 수 + 1"이다.매번 탐색을 하거나, 정렬을 한다면 \(100,000\)명의 선수에 대한 \(200,000\)번의 질의에 대답하기엔 시간상으로 버겁다. 내 등수는 구간 [내 점수 + 1, ∞)에 있는 사람의 수 + 1과 같다. 점수의 합은 최대 \(10^{9}\)이므로, 모든 점수를 압축할 필요가 있다. 이건 좌표압축 문제(BOJ 18870 - 좌표 압축)를 먼저 풀어보기를 권장한다.점수가 더..